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%%文档的题目、作者与日期
\author{2024级数学与应用数学1班}
\title{常微分方程期末复习二}
\date{2025年12月9日}

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\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}, wide=0pt, leftmargin=*]

\item \textbf{分离变量法}：求解初值问题 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1 + y^2}, \quad y(0) = 1$。

\item \textbf{积分因子法}：求解一阶线性微分方程 $\displaystyle \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^3$（其中 $x > 0$）。

\item \textbf{变量代换法}：求解微分方程 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$，提示：令 $u = \frac{y}{x}$。

\item \textbf{微分法}：求解克莱罗方程 $\displaystyle y = x\,\frac{dy}{dx} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$，并指出其通解与奇解。

\item \textbf{参数法}：求解微分方程 $\displaystyle (y')^2 + y^2 = 1$，使用参数表示法（如令 $y' = \sin\theta$）。

\item \textbf{幂级数方法}：在 $x=0$ 附近用幂级数法求解微分方程 $\displaystyle y'' - x y = 0$，写出前四项非零系数。

\item \textbf{常数变易法}：已知齐次方程 $y'' - y = 0$ 的基本解组为 $\{e^x, e^{-x}\}$，用常数变易法求非齐次方程 $y'' - y = e^{2x}$ 的一个特解。

\item \textbf{皮卡迭代法}：对初值问题 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = y,\ y(0)=1$，写出前三个 Picard 迭代函数 $y_0(x), y_1(x), y_2(x)$，并观察其收敛趋势。

\item \textbf{欧拉方法}：用步长 $h = 0.1$ 的欧拉方法近似计算初值问题 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = x + y,\ y(0) = 1$ 在 $x = 0.2$ 处的数值解。

\item \textbf{特征方程法}：求解常系数线性齐次微分方程 $\displaystyle y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$。

\item \textbf{待定系数法}：求解非齐次方程 $\displaystyle y'' + 4y = \cos(2x)$ 的一个特解，并说明为何需对试探解乘以 $x$。

\item \textbf{降阶法}：求解不显含自变量 $x$ 的二阶方程 $\displaystyle y'' = (y')^2$，提示：令 $p = y'$，则 $y'' = p\,\frac{dp}{dy}$。

\item \textbf{矩阵指数法}：用矩阵指数法求解线性系统 $\displaystyle \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$。

% \item \textbf{特征线法}：虽然主要用于偏微分方程，但在常微分方程中可类比处理。考虑一阶拟线性 PDE $\displaystyle u_x + u\,u_y = 0$，写出其特征方程组，并说明如何转化为常微分方程系统求解（仅要求建立 ODE 系统）。

\item \textbf{Frobenius 方法}：在 $x=0$ 的邻域内，用 Frobenius 方法求解贝塞尔型方程 $\displaystyle x^2 y'' + x y' + (x^2 - \tfrac{1}{4})y = 0$，指出指标方程并求出一个级数解。

\item \textbf{线性化方法}：对平面自治系统 $\displaystyle \dot{x} = x - y,\ \dot{y} = x + y - y^2$，求所有平衡点，对每个平衡点进行线性化，并判断其类型与稳定性。

% \item \textbf{首次积分法}：证明微分方程 $\displaystyle y'' + y = 0$ 存在一个首次积分（守恒量），并利用该守恒量将其降为一阶方程求解。

\end{enumerate}

\end{document}

